משנת ארץ ישראל על משנה אהלות י״ב:ז׳

7 עמוד שהוא מוטל באוויר – אוויר הוא השטח בחוץ לעיל פ"ד מ"א, והעמוד שוכב, וטומאה צמודה אליו. אם יש בו היקף עשרים וארבעה טפח מביא את הטומאה תחת דפנו – אם העמוד בהיקף כזה רוחבו – קוטרו – כ-8 טפחים ייווצר חלל של טפח מעוקב מתחת לדופן. המשנה אינה מסבירה את החשבון, והמפרשים התאמצו לבארו. רוב המפרשים הבינו את כללי החישוב הרגילים, אך האמת היא שהקריאה בהם קשה שכן לא היו מתורגלים בכתיבה מתמטית. החלל המדובר נוצר באחת משתי אפשרויות, או כאשר דופן העמוד היא מעין גג משופע של החלל או כאשר החלל הנדרש הוא קובייה מושלמת והדופן העגולה היא מחוץ לטפח המעוקב. להלן נתחבט בשאלה זו ובהסבר המתמטי הנדרש. ואם לאו טומאה בוקעת ועולה בוקעת ויורדת – אין כאן טפח על טפח, ואין כאן אוהל. ההלכה הכללית היא שטומאה שיש עליה כיסוי אבל הכיסוי איננו אוהל – טומאה רוצצת ועולה, וכל מה שכנגד הטומאה, עד הרקיע, טמא.

8 בתוספתא קיימות שני תוספות חשובות: "עמוד שהוא מוטל באויר אינו מביא טומאה תחת דופנו עד שיהא בהיקפו עשרים וארבעה טפחים. רבי יוסי אומר עשרים וחמשה, שהיה רבי יוסי אומר אין לך עשרים וחמשה שאין הארץ אוכלת בהן טפח. וכן הוא אומר 'ויהיו הרמונים תשעים וששה רוחה' ירמיהו נב כג, ואומר 'כל הרמונים מאה על הסבכה סביב' שם שם, אי אפשר לומר מאה שבכה שהרי נאמר תשעים וששה, ואי אפשר לומר תשעים וששה שכבר נאמר מאה, אמור מעתה ארבעה בלועין בכותל, ותשעים וששה נראין מבחוץ, וחצר שלו נידון כשיפולי אוהלין" פי"ג ה"ט, עמ' 611. טענתו של רבי יוסי היא שהעמוד שוקע באדמה בגלל משקלו, ולכן אין לנקוב במספרים מדויקים אלא במספר מעט גבוה יותר.

9 D

10 כאמור, החישוב המתמטי הוא פשוט למדי. עמוד שהיקפו 24 טפחים, קוטרו בערך 8 טפחים שכן ההיקף גדול מהקוטר בקצת יותר משליש, והרדיוס המתואר באיור 36 – AB, BC הוא 4 טפחים. האיור מציג את העמוד במבט מהצד, והעיגול העמוד כאילו לכוד במרובע שצלעותיו כאורך הרדיוס 4 טפחים. בשתי פינות המרובע נוצרים מעין מרובעים DEFG. במציאות אלו שטחים היוצרים חלל מרובע שצלע אחת ממנו היא העיגול החיצוני של העמוד AC. התנאי ההלכתי הוא שצלעות המרובעים הללו יהיו טפח על טפח. בחלל שטח כזה אורך האלכסון DG הוא בערך 1.4 טפחים שורש של 2, וזאת לפי חוק פיתגורס שהאלכסון במשולש ישר זווית הוא A2+B2=C2, כלומר 12+12=2. לפי אותו כלל אורך האלכסון כולו BG הוא AB2+BC2=BG2, ובמקרה שלפנינו אורכו בערך 5.6 טפחים. לשם חישוב אורכו של הקטע BD המעניין אותנו יש להפחית את אורך הרדיוס BD מאורך האלכסון כולו.

11 אם הרדיוס הוא ארבעה טפחים, הרי שאורך האלכסון כולו הוא 5.66 טפחים, והצלעות הן טפח אחד. אם הרדיוס הוא רק שלושה טפחים אזי אורך האלכסון כולו הוא שורש של 18 4.2 טפחים, ואורך הרדיוס 2.8 טפחים והוא רדיוס קטן מדי היקף העמוד 17.6 טפחים בערך. כמובן אם העמוד עבה יותר ייווצרו שטחים נוספים שהם טפח על טפח ברום מרבי של טפח.

12 היחס המתמטי בין אורך האלכסון BG – 5.6 טפחים ואורך הרדיוס AB, BC – 4 טפחים הוא ארבע לשלוש בערך, וזהו ביטוי נוסף לכלל שה"מרובע יתר על העגול רביע", וכן קובע הבבלי עירובין עו ע"ב. במסגרת חשבון זה המשנה מתייחסת לקטע DG כאילו היה 1.4 טפחים, אף שבפועל אורכו 1.66 טפחים. אלא שיש לזכור שכל החשבונות מקורבים. למעשה רדיוס עמוד שהיקפו 24 טפחים הוא 3.82 טפחים, והאלכסון במקרה כזה הוא בדיוק 5.403 טפחים, ואורך הצלעות DE, DF הוא מעט פחות מטפח אחד. אי הדיוקים שבחשבון מקזזים זה את זה, וחכמים נקטו מידות מקורבות.

13 התוספתא מוסיפה: "סאה שהיא מוטה על צדה באויר, אינה מביאה טומאה תחת כולה, עד שיהא בהיקף ארבעה טפחים ומחצה. אם היתה גבוהה חצי טפח, עד שיהא בהיקפו שלשה טפחים" פי"ג ה"ח, עמ' 611. הסאה היא כלי ששימש, בין השאר, למדידה. לכלי היה פרופיל אליפטי, ולפי הנתונים ניתן לשחזר פרופיל אפשרי של הכלי.

14 במשניות ובתוספתא באה לידי ביטוי ידיעת מתמטיקה ברמה בסיסית למדי. הידע המתמטי הקדום היה רב, והיוונים שפיתחו תורה זו הגיעו להישגים מקצועיים גבוהים ביותר. הידע המופגן במשנה איננו מעמיק במיוחד, וכמובן שאין לקבוע לפיו מה הייתה רמת הידיעות של חכמים במקצוע חשוב זה. עם זאת ברור שהם לא ראו חטא בשימוש בכלי חשיבה אלו, ולא נזקקו למדידה מעשית אלא לכלל מתמטי תאורטי.